CORRENTES MATEMÁTICAS

Araceli Bellini e Rita de Cássia Dorigon*

* Trabalho realizada para disciplina Estudos acerca do Conhecimento Matemático, do curso de Matemática da Universidade de Caxias do Sul; ministrado pela professora Eliana M. S. Soares.

INTRODUÇÃO

    As principais concepções sobre a natureza da matemática e sua relação com a realidade, bem como os filósofos e suas raízes tiveram seu auge a partir da metade do século 19.

Até esse período poucos preocupavam-se com seus fundamentos e verdades, e sim com a aplicação direta de teoremas e fórmulas.

    Com o surgimento da 3ª crise da matemática , houve um questionamento de como a matemática se fundamentava. Aquilo tudo que se acreditava até o momento estava errado? As estruturas matemáticas utilizadas eram válidas para todos os casos?

    Foi tentando responder a algumas dessas questões, que surgiram os três grandes correntes da filosofia matemática: logicismo, intuicionismo e formalismo.    

    Nosso artigo consiste em entender os princípios de cada uma das correntes citadas acima, suas relações, e suas aplicações na realidade atual.

    Nossa pesquisa foi baseada em livros e sites, que fazem referencias ao assunto descrito.

    Todas teorias contribuíram para a evolução da matemática, pois houve uma renovação de idéias que são utilizadas até hoje.

LOGICISMO

    A lógica começou a ser estruturada em meados do século 19, inicialmente pelo lógico e inglês Boole, que colocou na lógica um simbolismo matemático que possibilitou uma análise mais aprofundada das operações lógicas. Antes dele, Leibniz, Lambert e Plouquet já haviam apresentado contribuições importantes nesse sentido, em especial Leibniz, mas seus trabalhos não foram publicados na época. Boole portanto é considerado o fundador da lógica matemática ou simbólica.

    A lógica assim como estava estruturada não apresentava grande importância para os fundamentos da matemática, foi apenas com Peano e sua escola a partir de 1880 que a lógica teve um grande avanço em termos de compreensão dos problemas relativos aos fundamentos da matemática.

    Então após a 3ª crise matemática que diz respeito à Teoria dos Conjuntos, houve inúmeras indagações sobre os fundamentos da matemática, conseqüentemente da lógica apresentada até então.

    Foi então que surgiu o logicismo, cujo líder é Bertrand Russel, e cujas idéias centrais se resumem em dois aspectos:

- Todas idéias matemáticas podem ser expressos na terminologia da lógica.

- Todas idéias matemáticas verdadeiras são decorrentes de expressões lógicas verdadeiras.

Em resumo, o logicismo pretendia reduzir a matemática, a logística (lógica matemática simbólica ou algoritma).

Bertrand Russel argumenta "A matemática e a lógica, historicamente falando tem sido considerada disciplinas distintas. A matemática achava-se relacionada com as ciências e a lógica, com o pensamento. Todavia, ambas se desenvolveram na época atual. A lógica tornou-se mais matemática, e a matemática mais lógica. Em conseqüência, é impossível agora, traçar linha divisória entre ambas: são de fato, uma só disciplina. Diferem como jovem de adulto: a lógica é a juventude da matemática e a matemática, a idade adulta da lógica..." (1974:207)

Um exemplo de como os logicistas queriam reduzir a matemática à lógica, segue abaixo:

Consideramos os conjuntos A = { a, b, c } e B = { m,n,p }. Entre esses conjuntos podemos associar cada elemento de A para cada elemento de B, assim: a e m, b e n, e c e p.

Quando entre dois conjuntos é possível fazer essa relação dizemos que eles são equipotentes. Mas é claro que o conjunto { a, b, c } não é equipotente ap conjunto { a, b, c, d ... }. Evidentemente se os conjuntos A e B forem finitos, eles têm o mesmo número de elementos se e somente se forem equipotentes.

Portanto definimos a relação; "A tem o mesmo número de elementos de B ( A e B sendo conjuntos quaisquer ) A for equipotente a B.

Os preceitos lógicos se mantinham, quase que inabaláveis, até o surgimento dos primeiros paradoxos lógicos, que fez com que a idéia de que pudéssemos reduzir toda matemática a lógica fosse discutida. O autor Nilsom José Machado cita em exemplo de em paradoxo lógico, simples de ser entendido: "Consideramos o conjunto cujos elementos são catálogos de livros (indivíduos). Diremos que um catálogo é normal (atributo) se ele não se incluir entre os livros que cita; se ele incluir, será anormal. Consideramos agora, o conjunto de todos os catálogos normais e organizemos o catálogo de todos os catálogos normais (individuo ?). Este catálogo será normal ou anormal? Se ele for anormal, ele não se incluirá por definição deste atributo e, portanto deverá se incluir uma vez que é o catálogo de todos os catálogos normais, sendo conseqüentemente anormal. Se ele for anormal, ele se incluirá, e portanto, será normal, uma vez que só inclui os normais. E agora?" (1987:27).

Esta foi só uma das inúmeras contradições encontradas com o intuito de pregar todas as idéias logicistas, com isso pode-se concluir que era impossível reduzir toda matemática à lógica, o grande mérito, no entanto do logicismo, foi ter proporcionado grande progresso à logística e de haver conclamado que a lógica e a matemática são disciplinas intimamente ligadas entre si, quase que inseparáveis.

FORMALISMO

    O formalismo teve como principal característica organizar o pensamento matemático e enquadra-lo dentro do método axiomático.

    Os formalistas acreditam que a matemática não pode ser reduzida à lógica, mas a lógica desempenha um papel importante. Pois os axiomas decorrem de Leis Lógicas, mas, no entanto acreditam que os resultados decorrentes destes axiomas não são princípios propriamente lógicos .

    David Hilbert (1862-1943), foi o principal representante do formalismo. Hilbert pretendia organizar e fundamentar a matemática de forma sólida e concreta. Em 1899 Hilbert publica o livro "Grundlagem der Geometrie", dando assim um estado claro e preciso para i método axiomático. Hilbert cria assim uma nova ciência a meta matemática ou teoria de demonstração, com a finalidade de demonstrar a consistência das teorias matemáticas, esta implica em provar a ausência de contradição em uma teoria matemática, para que a mesma seja considerada válida.

Método Axiomático

    O método axiomático consiste em organizar o conhecimento matemático da seguinte forma:

Teoria Formal -Termos primitivos - Regras de formação - Fórmulas bem-formadas - Axiomas de postulados - Regras de inferência - Teoremas

- Termos primitivos - são objetos de estudo, algo a ser investigado.

- Regras de formação – são regras que organizam os dados encontrados, neste momento devem ser elaboradas formulas bem-formadas.

- Axiomas ou postulados – são verdades significativas que não podem ser contestadas

- Regras de inferência – determinam quais das fórmulas bem-formadas são teoremas, serem efetivamente teoremas, estas regras devem ser verdades na qual possam ser demonstradas.

O método axiomático vem sendo praticado há muito tempo, Euclides autor de "Os elementos", aplicou a sua obra o método axiomático.

Euclides enunciou os seguintes postulados:

P1 – Trancar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto.

P2 – Prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta.

P3 – Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.

P4 – Que todos os ângulos retos são iguais.

P5 – Que, se uma reta cortando duas retas faz os ângulos interiores de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, as retas, se prolongadas indefinidamente se encontram desse lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos.

    Euclides elaborou os seguintes axiomas:

        A1 – Coisas que são iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si.

        A2 – Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais.

        A3 – Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.

        A4 – Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma a outra.

        A5 – O todo é maior que a parte.

    Segundo Nilton José Machado, "a idéia subjacente à fixação dos postulados e axiomas é que eles sejam de tal modo evidentes que ninguém deles duvide. E é a partir deles que todos s fatos geométricos, todos os teoremas são demonstrados".

    O postulado cinco de Euclides, causou dúvidas entre os matemáticos da época, porque se podia demonstrar o P5 através dos outros quatro postulados, tentaram inclusive substituir o P5 por outro postulado mais simples e óbvio. Mas no século XVIII o matemático Sacchieri, tentou negar o postulado cinco, chegando a conclusão que ra verdadeiro. Assim P5 é realmente uma verdade, mas não é necessário ele estar entre os outros postulados, pois a partir dos outros podemos obtê-lo.

    É importante ressaltar que atualmente axiomas e postulados são sinônimos, pois Euclides havia dado sentidos deferentes para estes.

    Teorema de Gödel

    Em 1930, parecia que o formalismo era o que se tinha de mais significativo para entender como se processava o conhecimento matemático, apenas o que preocupavam os hilbertianos eram alguns problemas de consistência da aritmética e da análise.

    Foi então que em 1931, Kutr Gödel, um lógico-matemático de 25 anos, publicou em um periódico científico alemão os seguintes enunciados:

    Teorema I: Toda axiomática da
aritmética é incompleta.

    Gödel demonstrou que existem algumas proposições aritméticas que nem elas e nem as suas negações são demonstráveis, não se pode deduzir se são verdadeiras ou falsas.

    Teorema II: A consistência de qualquer axiomática da aritmética não pode ser demonstrada nessa axiomática.

    Este teorema diz que a prova para mostrar que não há contradição em uma axiomática aritmética, não pode ser demonstrada com apenas essa mesma axiomática.

    Assim Gödel mostrou pontos frágeis no método axiomático, pois formalizaram a aritmética de forma inconsistente e incompleta.

Um exemplo disso é o Teorema de Goldbach que diz: "todo número par é a soma de dois números primos", realmente todo número para é a soma de dois números primo, mas ninguém até hoje conseguiu provar isto pelo método axiomático. Segundo Nilson José Machado, "este pode ser um exemplo de uma proposição verdadeira, não derivável do conjunto dos axiomas da aritmética.

Assim os trabalhos de Gödel praticamente destruíram os princípios hilbertinos, pois Gödel demonstrou as limitações do método axiomático.

INTUICIONISMO

O intuicionismo tem como seu principal representante Brower.

Para os intuicionistas, a matemática era totalmente auto-suficiente. A pretensão dos logicistas de reduzir a matemática à lógica e dos formalistas de alcançar um método rigoroso, resultavam em contradições fundamentais sobre a natureza da matemática.

O ponto de vista central do intuicionismo é uma construção feita por entidades abstratas, a partir da intuição do matemático, e essa construção precede de uma redução à lógica ou de uma formalização rigorosa.

A corrente admite sistemas formais, mas considera isso como simples acessório, resultante de uma atividade autônoma e construtiva, e atribuem à linguagem matemática uma função pedagógica, a uma oposição feita ao formalismo no aspecto de que eles consideram que uma prova é uma equação mental e não uma seqüência de fórmulas. A intuição é a forma primária de conhecimento.

A matemática intuicionista não é de fácil entendimento, segundo Newton Carneiro Afonso da Costa, a visão de Brower de conjunto era em termos simplificados o seguinte "Um conjunto é uma lei, segundo a qual, dada qualquer seqüência ilimitada de escolhas, a cada termo dessa seqüência ela o associa a um arranjo simbólico definido com o término ou não do processo (término do processo significa que a partir de certa escolha, não se associa nada as escolhas seguintes), ou conduza finalização do processo e a rejeição de seu resultado. Para cada número n>1, após se ter construído uma seqüência de escolhas não terminada nem finalizada de n-1 escolhas, pelo menos um número pode ser dado, tal que se ele for escolhido como n-ésimo número da seqüência, isto não acarreta a finalização do processo. Qualquer seqüência de arranjos simbólicos gerados dessa maneira, por uma maneira ilimitada de escolhas, chama-se um elemento do conjunto".

O conjunto é qualquer lei que faz corresponder seqüências limitadas ou não de arranjos simbólicos a seqüências ilimitadas de escolhas.

Aos elementos e aos conjuntos, Brower denomina de entidades matemáticas. Um conjunto constitui apenas processo de geração de elementos.

A escolha apresentada por Brower possui traços positivos, porque abriu discussões e evoluções da matemática tão severa da época e que se apresentava até então e a doutrina formalista progrediu grandemente graças à guerra de discussões entre formalistas x intuicionistas.

Mas a concepção broweriana torna quase impossível a matemática como ciência, pois torna a matemática autônoma e individualista contrapondo a idéia de que a ciência deve ter um caráter social.

Se o intuicionismo prevalecesse a velha ciência matemática seria completamente desfigurado e os próprios defensores do intuicionismo reconhecem os resultados desastrosos dessa tendência. "O Matemático tentou em vão escalar os céus..." (Weyl).

CONCLUSÃO

Para nós trabalhar sobre esse tema foi compensador, pois não tínhamos idéia do que se tratava e percebemos durante o decorrer das atividades que nós tivemos um crescimento muito grande a respeito dos fundamentos da matemática.

Hoje, falar sobre as correntes matemáticas já não é tão complicado, pois com o trabalho podemos compreender e até explicar pára outras pessoas o que diz respeito cada aspecto de cada uma das três grandes correntes do pensamento matemático.

A opinião do grupo sobre cada corrente é de que elas hoje continuam presentes talvez não com o mesmo aspecto do século 19, mas com algumas modificações que facilitam a resolver problemas de diversas áreas. O grupo também questiona que assim como as três correntes estão presentes hoje, algumas pessoas talvez tenham ainda o pensamento antigo de só se preocupar com as aplicações diretas da matemática não se preocupando com a base que fundamenta todo esse processo.

BIBLIOGRAFIA

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

COSTA, Newton Carneiro Affonso da. Introdução dos fundamentos da matemática. Porto Alegre: Gráficas da Livraria do Globo S.A. , 1961.

MACHADO, Nilson José. Matemática e Realidade. São Paulo: Cortez: Autores Associados, 1987.

RUSSEL, Bertrand. Introdução à Filosofia Matemática. 4º ed. Rio de Janeiro: Editores Zahae, 1974.

www.mat.uel.br/graduação/disciplina/fil006 (acessado em 25/09/2002)

www.educ.fculpt/docente/opombo/semináriofregerussel (acessado em 17/10/2002)

www.itermega.globo.com/logepistemologia/edivaldosoa/emport_log (acessado em 02/10/2002)